数量关系
1 小注意点
1、1不是质数
2、东南西北方向是？如下
2 主要内容
三大方法：代入排除法、倍数特性法、方程法
六大题型：工程问题、经济利润
行程问题、几何问题
排列组合与概率、容斥原理
周期问题、最值问题、溶液问题、牛吃草问题等小考点会在后续的（粉笔980 2025）强化练习课、真题课、学霸养成课补充讲解
补充：线段法，如例2(P195，解题方法在“4 倍数特性法”的博客4)
3 代入排除法
1、什么时候用？
（1）看选项
选项信息充分：选项为一组数。此时选项把每个要求的数都给我们了，就用代入排除法
（2）看题型
出现特定题型：年龄、余数、多位数、不定方程
① 年龄：涉及到年龄的问题
② 余数：出现“多”、“剩”、“余”、“缺”等关键字
例：一个数，除以7余3，除以8余2，除以9余1.
A. 10 B.11
③ 多位数：出现位数的变化
例：多个三位数，十位和个位对调，比原来大9
A.121 B.123
④ 不定方程：后面方程法单独讲解
2、注意点
（1）求至少，要从最小的选项开始代入，因为有可能很多个选项都符合，但题目是求最少的那个选项
3、对于例3(P193)，我有话要说，就是这题不用代入法写，得设边长为$x$，则$x^2(x-2)=144$，属于高次方程。
我们行测需要求解的基本是一元一次方程、二元一次方程等这种很好求解的方程组。对于像例3(P193)需要求解高次方程的题，可以不用硬解，直接代入选项即可！！！
4 倍数特性法（行测里最好用的排除选项的方法）
1、关于倍数特性法：
$\bigstar$此方法基于的基础知识：
如果$A=B\times C$，（$B$、$C$均为整数）。那么，$A$能被$B$整除，且$A$能被$C$整除
此基础知识可以写题：
(2021北京)为响应国家“做好重点群体就业工作”的号召，某企业扩大招聘规模，计划在年内招聘高校毕业生240名，但实际招聘的高校毕业生数量多于计划招聘的数量。已知企业将招聘到的高校毕业生平均分配到7个部门培训，并在培训结束后将他们平均分配到9个分公司工作。问该企业实际招聘的高校毕业生至少比计划招聘数多多少人?
A. 6
B. 12
C. 14
D. 28
这个题选什么？
选B。因为实际招聘的数量能被7和9整除，则实际招聘数量能被63整除。因为实际招聘数量>240，而63*3<240，63*4刚好大于240，则至少招聘了63*4=252人，则多252-240=12人。此题思维：出现平均分考虑倍数关系
$\bigstar$以上习题涉及整数判定，整除判定技巧如下
（1）口诀法：
3、9看各位数字之和（如657能不能被9整除？6+5+7=18，18能被9整除，因此657能被9整除）；
5看末位（末位为0、5就能被5整除）；
4看末两位（如624只需要看末两位24，24能被4整除，则624能被4整除；因为624=600+24，而100一定是4的倍数，因此不用管600，只需要看24，即看末两位）
（2）因式分解：
判断x是否能被18整除，只需要判断x是否能同时被2、9整除
因式分解后的2个数字必须互质（即没有公约数），如这里提到的18分解的2个数字为2、9
（3）拆分法：
判断x是否能被7整除，可以把x拆成7的倍数$\pm$零头，只看零头能否被7整除
如644=630+14，就看14能不能被7整除，发现可以，那么644能被7整除
又如判断354能被18整除不，而354=360-6，6不能被18整除，则354不能被18整除
$\bigstar$什么时候考虑倍数特性法？
（1）出现“平均分”（暗含平均分的字：每、循环报数）、余数等字眼则考虑倍数关系，对应“余数型”的题型；
（2）出现比例如30%(即可以化成比例3:10)、$\frac{5}{9}$、5:3、2.5倍(即2.5:1=5:2)等的时候，对应“比例型”的题型；
（3）给数值范围和比例关系，没给具体值，但问具体值，一般都是考倍数特性法，通过倍数关系确定具体值。
$\bigstar$题型：
（1）余数型
（2）比例型
①基础知识：
如果$\frac{A}{B}=\frac{m}{n}$(m与n互质，即m和n需要化成最简整数比)
那么，A是m的倍数
B是n的倍数
A+B是m+n的倍数
A-B是m-n的倍数
扩展：如果C比D多$\frac{x}{y}$，则$\frac{C}{D}=1+\frac{x}{y}=\frac{x+y}{y}$
②什么时候用？
出现比例如30%(即可以化成比例3:10)、$\frac{5}{9}$、5:3、2.5倍(即2.5:1=5:2)的时候
③比例型做题思路总结：
情况1：根据$\frac{A}{B}=\frac{m}{n}$的m和n的倍数求出选项。求总人数的题，有个条件说“20岁以下的人数占总人数的68%”，即占总人数的$\frac{68}{100}=\frac{17}{25}$，即总人数可以被25整除；
情况2：根据$\frac{A}{B}=1+\frac{m}{n}=\frac{m+n}{n}$的m+n的倍数和n的倍数求出选项。求B品牌去年生产的数量。已知B品牌去年比前年多生产15%，则$\frac{去年}{前年}=1+15\%=1+\frac{3}{20}=\frac{23}{20}$，则去年生产的数量是23的倍数；
情况3：间接求法。求今年推荐录取的人数。已知今年共录取231个硕士研究生，其中推荐录取的人数比去年减少$\frac{1}{6}$，考试录取的人数比去年增加
$\frac{31}{150}$，则$\frac{今年推荐}{去年推荐}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$，$\frac{今年考试}{去年考试}=1+\frac{31}{150}=\frac{181}{150}$，则今年推荐是5的倍数，今年考试是181的倍数，代入A.今年推荐40人，则今年考试人数为231-40=191，不是181的倍数；代入C.今年推荐50人，则今年考试231-50=181人，是181的倍数，则选C；
情况4：直接计算。例4(P195)，看下面的博客6；
情况5：根据$\frac{A}{B}=\frac{m}{n}$可以推出$\frac{A}{A+B}=\frac{m}{m+n}$，根据A+B是m+n的倍数来求出选项。如求参与投票的总人数，最初支持方案A的人数比支持方案B的人数多$\frac{1}{4}$，则$\frac{A}{B}=\frac{5}{4}$，则总人数是9的倍数，则选出只有选项C.90是9的倍数；
情况6：根据$\frac{A}{B}=\frac{m}{n}$可以推出$\frac{A}{A-B}=\frac{m}{m-n}$，根据A-B是m-n的倍数来求出选项。如不到30岁的哥哥今年的年龄正好是弟弟年龄的5倍，若干年后哥哥的年龄就是弟弟的4倍，又过了若干年，哥哥的年龄将是弟弟的3倍，求今年两兄弟的年龄差。今年$\frac{哥}{弟}=\frac{5}{1}$，则年龄差是4的倍数；若干年$\frac{哥}{弟}=\frac{4}{1}$，则年龄差是3的倍数；又过若干年$\frac{哥}{弟}=\frac{3}{1}$，则年龄差是2的倍数；则年龄差是4、3、2的倍数，则只有A.12选项符合，选它。
2、对余数型补充一个题：
例1：（坑题）
(2021广东)某学校组织学生外出学农。如果每间宿舍住6名学生，就会缺7张床位；如果每间宿舍住8名学生，就会空出3张床位。则这批学生共有多少人？
A.50 B.45 C.43 D.37
这个题选什么？
选D。这题求的是人，但题目给的信息是床位的数量，因此要转换为人数。缺7张床位意味着多7个人，空3张床位意味着少3个人。
则说明每间宿舍住6人，就会多出来7人；每间宿舍住8人，就会少3人。
则选D成立。
3、补充一个比例型的例题：
(2020天津选调)赵英读一本小说，第一天读了全书的$\frac{4}{7}$，第二天又读了余下的$\frac{3}{5}$，这时还有42页没有读完，这本小说共多少页?
A. 245 B. 255 C. 265 D. 275
这个题选什么？
选A。书的总页数一定是7的倍数，则只能选A了。没想到就这样选出来了！！！4、对于例2(P195)，根据资料分析学的线段法也可以进行计算：
则去年B多生产15%，则去年为$4\times(1+15\%)=4.6$
线段法用于什么时候？用于比较现期和基期的时候，有增长率，求现期量或者基期量
5、例3(P195)怎么写呢？
已知今年共录取231个硕士研究生，其中推荐录取的人数比去年减少$\frac{1}{6}$，考试录取的人数比去年增加
$\frac{31}{150}$，则$\frac{今年推荐}{去年推荐}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$，$\frac{今年考试}{去年考试}=1+\frac{31}{150}=\frac{181}{150}$，则今年推荐是5的倍数，今年考试是181的倍数，代入A.今年推荐40人，则今年考试人数为231-40=191，不是181的倍数；代入C.今年推荐50人，则今年考试231-50=181人，是181的倍数，则选C
6、例4怎么写？
$\frac{去西部}{总人数}=96\%=\frac{96}{100}=\frac{24}{25}$，由于总人数为70多人，则由于总人数是25的倍数，则总人数为75人。去偏远中小学为$75\times20\%=15$，大学生村官为15+2=17人，西部参军为15-1=14人。因为$\frac{去西部}{总人数}=\frac{24}{25}$，则去西部的总人数为72，则去国有企业西部为72-15-17-14=26人，选C
7、出一题，是博客1“题型”中“比例型”的“比例型做题思路总结”的“情况5”的解题思路对应的题：
【拓展5】甲乙丙丁四个人一起去踏青，
甲带的钱是另外三个人总和的一半，
乙带的钱是另外三个人的$\frac{1}{3}$，
丙带的钱是另外三个人的$\frac{1}{4}$，
丁带了91元，他们一共带了多少元?
A. 364
B. 380
C. 420
D. 495
这个题选什么？
选C。甲/另=1/2，则总人数是3的倍数；乙/另=1/3，则总人数是4的倍数；丙/另=1/4，则总人数是5的倍数。由于3、4、5互质，则总人数是3*4*5=60的倍数，则只能选C。
8、出一题，是博客1“题型”中“比例型”的“比例型做题思路总结”的“情况6”的解题思路对应的题：
(2021重庆选调)不到30岁的哥哥今年的年龄正好是弟弟年龄的5倍，若干年后哥哥的年龄就是弟弟的4倍，又过了若干年，哥哥的年龄将是弟弟的3倍，则今年两兄弟的年龄差是多少岁?
A. 12
B. 13
C. 14
D. 15
这个题选什么？
选A。今年哥/弟=5/1，则年龄差是4的倍数；若干年哥/弟=4/1，则年龄差是3的倍数；又过若干年哥/弟=3/1，则年龄差是2的倍数；则年龄差是4、3、2的倍数，则只有A.12选项符合，选它。5 方程法
1、如何设置谁为未知数$x$呢？
①设小不设大(避免分数)。如乙是甲的3倍，那就设甲为$x$，这样乙为$3x$，如果设甲为$x$，就出现乙是$\frac{1}{3}x$这个分数了，不行。
②设中间量(方便列式)。主体太多，则从中间量入手。如例1(P196)设置与四个小组相关的量为$x$，即设置四个小组人数相等时候的人数为$x$。
③求谁设谁(避免陷阱)
④出现比例：设份数。如$\frac{甲}{乙}=\frac{5}{3}$，则设一份为$x$，则甲为$5x$，乙为$3x$
2、扩展：不定方程问题
$\bigstar$出现$ax+by=M$、等，为不定方程问题
$\bigstar$方法：分析奇数偶数、尾数、倍数等数字特性，结合选项代入排除
（1）分析奇偶性。如$3x+4y=25$，发现$4y$一定是偶数，因为25是奇数，则$3x$一定是奇数，则$x$一定是奇数。
（2）分析尾数。$ax+by=M$，当$a$或$b$尾数是0或5的时候，考虑尾数。
如$37x+20y=271$，则$x=?$
A. 1 B. 3 C.2 D.4
由于$20y$的尾数一定是0，则由于271，$37x$的尾数一定是1，则选B，只有B的3能让$37x$的尾数为1
（3）分析倍数特性。$ax+by=M$，当$a$或$b$与$M$有公因子时，考虑倍数特性。注意，要找一个最大的公因子！
如$7x+3y=60$，则$x$为多少？(x、y均为正整数)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
由于$3y$的3是60的公因子，因此$x$得是3的倍数，因此选B.6。为什么能这么做题呢？
因为$7x=60-3y=3(20-y)$，则$7x$为3的倍数。因为7不是3的倍数，因此$x$得是3的倍数才行，这样只能选B.6了
（4）若以上只能排除4个选项的其中2个选项，排除不了剩余2个选项中的其中一个，怎么办？
那就代入求值。例如例4(P197)。
3、补充一个关于”方法“里的”尾数“这个解题思路对应的题：
(2023河北)如果四个连续的正整数之积是个位为4的四位数，则这四个数中最小的是？
A. 6 B. 9 C. 5 D. 10
这个题选什么？
选A。由于5会让乘积后的数尾数为0或5，10会让乘积后的数尾数为0，因此排除CD。由于是4个连续的正整数，为9、10、11、12，因为出现10，因此乘积的个位为0，排除。只能选A。
4、例4只能用尾数排除4个选项的其中2个选项，怎么办？
$10x+5y+z=89$，因为$10x$的尾数为0，$5y$的尾数可以为0或5，则当$5y$的尾数为0时，$z$的尾数为9；当$5y$的尾数为5时，$z$的尾数为4，则选AB。
怎么选出正确选项。只能代入了。由于这个题方程有2个，为：
代入$z=14$，则方程变为：
方程(1)-方程(2)，可得$x=-1$，则$z=14$排除。选B
6 工程问题
1、工程问题的公式：总量=效率$\times$时间
如1小时做60题，效率是60题/h
6.1 题型1：给完工时间型（重点）
1、关于题型1
$\bigstar$题型识别：题中有多个完工时间，则是给完工时间题型
$\bigstar$【引例】搬完一车砖，小帅需要2小时，小美需要3小时，现俩人合作，需要多久?
以往的思维都是设置总量为单位1，则小帅的效率是$\frac{1}{2}$，小美的效率是$\frac{1}{3}$，则总效率为$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}$，则总时间为$1\div \frac{5}{6}=\frac{6}{5}$
这样计算有个缺陷，就是要是时间是那种47、36等数字，计算总效率就异常艰难，那怎么办呢？那就使用以下方法
$\bigstar$方法：
（1）方法1：
流程1：赋总量（完工时间的公倍数，如2和3的公倍数是6）
流程2：算效率：计算各自的效率（效率=总量$\div$时间），再计算总效率
流程3：根据工作过程列式计算
（2）方法2：
代入法，如例3(P199)可以用代入法更快
$\bigstar$补充：求最小公倍数
使用短除法
例如：10和25和40
将最外边的数一乘，即$5\times2\times1\times5\times4=200$，即200是最小公倍数
$\bigstar$题目怎么出？
（1）给甲、乙单独完成工程总量的时间，如例1(P198)
（2）给甲单独完成工程总量的时间；给甲、乙合作完成工程总量的时间，如例2(P198)
（3）给其他条件
2、对于例2，怎么写呢？
甲15天做一半，则甲的完工时间为30天；甲乙合作6天做了一半，则甲乙合作的完工时间为12天
30和12的公倍数这里取60。总效率为60/12=5，甲的效率为60/30=2，则乙的效率为5-2=3。则乙的完工时间为60/3=20
3、对于题型1，给一个更难的扩展题：
题1：
(2022福建)一批试卷分配给甲乙两人评。如果甲单独评，需30小时才能完成任务。乙单独评阅，需40小时才能完成任务。现在他们两人一起同时开始评阅，经过25小时评卷结束。评卷期间甲休息了7小时，问乙在评卷期间休息了多少小时?
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
这个题选什么？
选D。设乙休息了x小时。设x>=7，说明甲乙共同工作了25-x小时，然后甲再继续工作x-7小时。
30和40公倍数是120，设总量为120。甲效率为4，乙效率为3，则总效率为7。
则7(25-x)+4(x-7)=120，则解出来x=9，选D。
还能假设x<7，但是因为已经选出x=9了，因此没必要再假设了。
以上是我的解题方法，感觉特别复杂。但其实根本不用这样，可以这么写：
120是30和40的公倍数，则设总量为120。甲效率为120/30=4，乙效率为120/40=3
则设乙工作了T小时，则$(25-7)\times4+3\times T=120$
解出来T=16，则乙休息了25-16=9小时
即直接计算甲、乙分别工作了几个小时，他们的工作量加起来就是总工作量。而不用关注他们共同工作了几小时，因为总效率本来就是甲、乙相加得到的
6.2 题型2：给效率比例型（重点）
1、关于题型2
$\bigstar$题型识别：题目中给效率比例的3种形式中的一种
$\bigstar$【引例】搬一堆砖，甲和乙的效率比为2:1，合作3小时完成。现在，甲先做2小时，然后再交给乙做，问乙需要做多少小时?
解：设甲效率为2，乙效率为1，则总量为(2+1)$\times$3=9。甲做2小时，做了2$\times$2=4；还剩9-4=5，则乙做了5/1=5小时
$\bigstar$方法：
流程1：赋效率（题目会给效率比例，取满足效率比例的效率即可）
流程2：算总量，使用公式效率$\times$时间=总量
流程3：根据题意完成工作
$\bigstar$效率比例的3种形式：
（1）直接给。如甲:乙=3:4
（2）间接给。
① 时间相同，效率和工作量成正比。如甲完成的50%的时间与乙完成25%的时间相同，则效率比为甲:乙=50:25=2:1
② 工作量相同，效率与时间成反比。如甲4天的工作量等于乙3天的工作量，则效率比为甲:乙=3:4
③ 给具体人数或机器数。如题目给50个人修路、30台机器收割麦子等信息，则50个人之间/30台机器的效率肯定是相同的，则赋值每个人/每台机器的效率为1
6.3 题型3：给具体单位型（简单）
1、关于题型3
$\bigstar$题型识别：题目给出具体效率、具体工程量
$\bigstar$【引例】老邓有120栋楼要收租，11月他想休息10天，那么11月剩下的时间平均每天需要收多少栋楼的房租?
解：都不用列方程求解，直接120/(30-10)=6
$\bigstar$方法：
很简单，直接根据问题设未知数列方程求解
2、对于例7(P199)，可以用另一个角度做题。你看对于效率，甲:乙=5:9，则时间上甲:乙=9:5（利用了效率与时间成反比）
则设9x-4=5x+2，则x=1.5，则丙时间为5$\times$1.5+2=9.5h，然后就可以求丙的效率
7 经济利润问题
7.1 基础经济
1、关于基础经济
$\bigstar$基础经济公式：（进价即成本）
（1）利润=售价-进价
（2）利润率=利润$\div$进价
（3）售价=进价$\times$(1+利润率)
$\bigstar$概念辨析：
（1）折扣：打N折就用原价乘以0.N，如八折是80%的折扣
（2）定价、进价，不是一个东西
（3）售价和定价不是一个东西，可能定价$\times$折扣=售价，有可能定价=售价
$\bigstar$扩展：
（1）由于利润=售价-进价，则因为进价肯定不会变，则售价的变化=利润的变化。如进价为100，我一开始售价以200卖，则利润为200-100=100；我后来给售价200打折卖，打八折，则售价为200$\times$0.8=160，则此时利润为160-100=60。利润的变化是100-60=40，而售价的变化是200-160=40，则确实售价的变化=利润的变化
（2）总利润=单件利润$\times$销量
（3）总收入=售价$\times$销量
$\bigstar$方法：
（1）方程法：题干给出价格、数量等具体值设未知数，套公式列方程求解
（2）赋值法：题干未给出价格、数量等具体值，往往赋进价(100)，利用公式直接计算。如例3(P201)
补充：当条件太多、关系太乱时，可列表格梳理
2、对于例1(P200)，除了一开始我用的那种方法（列二元一次方程求解），还可以用“售价的变化=利润的变化”这个关系，则100-70=0.095$\times$定价-0.09$\times$定价，则定价为600；利润=售价-进价，则进价=0.09$\times$600-70=470，则选B
7.2 分段计费
1、关于分段计费
$\bigstar$出题背景：在生活中，税费、水电费、停车费等，有多段计费标准
$\bigstar$计算方法：
（1）按标准分开计算
（2）代入法
$\bigstar$【引例】某地出租车收费标准为：3公里内起步价8元;超出3公里的部分，每公里2元。小明打车坐了12公里，共花费多少钱?
解：8+(12-3)$\times$2=26元
7.3 函数最值
1、关于函数最值
$\bigstar$出题背景：在生活中，贵的东西就卖的少，便宜的东西就卖的多
$\bigstar$题型特征：价格和销量此消彼长（即价格下降，销量就上涨；价格上涨，销量就下降），问如何定价总收入/总利润最高?
$\bigstar$【引例】售价为3000元时，可卖出16万件。若售价每提升300元，销量会降低1万件。请问当售价定为多少元时，总收入最高?
我一开始设售价为$x$，则式子为$(16-\frac{x-3000}{300}\times1)x$，这样会有分母，很难计算。而老师的方法更简单，为：
设提升了$x$次300元，则式子变为$y=(3000+300x)(16-x)$，而且不是用化为式子$ax^2+bx+c$进行计算，而是将$y=0$进行计算，得出$x_1=-10$和$x_2=16$，则最终最值处的$x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{-10+16}{2}=3$，则售价为$3000+3\times300=3900$元
$\bigstar$计算方法：
通过引例，我们可以得到计算方法为：
设提价次数为$x$次，写出式子$y=(ax+b)(cx+d)$，
令$y=0$，解得$x_1$和$x_2$；
当$x=\frac{x_1+x_2}{2}$时，取得最值
$\bigstar$补充：一元二次方程求根公式
对于$ax^2+bx+c=0$，其求根公式为$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$\bigstar$注意点：
（1）总收入最大$\neq$总利润最大
2、$\bigstar\bigstar\bigstar$对于例2(P202)，我的思路是，列出式子$(10+x-8)(100-10x)\geq350$，然后解方程，但是这样很麻烦！
而老师说，根本没必要这样，而是求式子$(10+x-8)(100-10x)$的最大值对应的$x$即可，因为此时的最大值（即最大利润）肯定大于350元
让$(10+x-8)(100-10x)=0$，则求出$x_1=-2$与$x_2=10$，则最大值对应的$x=\frac{-2+10}{2}=4$，即售价为$10+4=14$元，此时对应选项B，是13元和15元之间的数
8 行程问题
1、关于行程问题
$\bigstar$公式：路程=速度$\times$时间
注意：对于猜选项，要是想选出路程，假设时间固定为18h，则路程一定是18的倍数（根据第一章的倍数特性法），因为国考省考题大多出速度是整数的题
$\bigstar$考察题型：
（1）普通行程（简单）
（2）相对行程（重点）
$\bigstar$补充知识：
（1）匀加速、匀减速（热门考点！！！）
假设一辆车从速度0匀加速到速度60，行驶了2h，则它经过的路程是多少？
对于匀加速、匀减速，路程$S=v_{平均}\times T$，$v_{平均}=\frac{v_初+v_末}{2}$，则路程$S=\frac{0+60}{2}\times2=60$
扩展：若一辆车从0开始匀加速到最大速度，然后从最大速度匀减速到0，则这一段路程的平均速度是多少？
匀加速时候的平均速度是$v_{平1}=\frac{v_初+v_末}{2}=\frac{0+v_大}{2}=\frac{v_大}{2}$，匀减速时候的平均速度是$v_{平2}=\frac{v_初+v_末}{2}=\frac{v_大+0}{2}=\frac{v_大}{2}$，因为匀加速路段的平均速度等于匀减速路段的平均速度，则就可以断定整段路程的平均速度为$\frac{v_大}{2}$
8.1 相对行程问题（重点）
1、关于相对行程问题
$\bigstar$情况1：直线相遇
同时相向而行，都是匀速，且在时间$T_遇=T$的时候相遇，如下图情况：
公式推导：$S=v_1\times T_遇+v_2\times T_遇=(v_1+v_2)\times T_遇=v_合\times T_遇$，即$S=v_合\times T_遇$
$\bigstar$情况2：直线追及
同时同向而行，都是匀速，设$S_差$是追及刚开始时两人相差的距离（即A的起点和B的起点的距离），$T_追=T$是A追上B的时间，且A的速度>B的速度
公式推导：$S_差=S_猫-S_鼠=v_快\times T-v_慢\times T=(v_快-v_慢)\times T=v_差\times T$，即$S_差=v_差\times T$
注意，$S_差$是速度不一样的那个时刻的距离差，一定要注意这个哦！！！
$\bigstar$情况3：环形相遇
（1）同时同点反向出发，即A和B从同一个点出发，A顺时针走，B逆时针走，在圆上同一个点相遇
每相遇一次，A和B的路程合起来是一圈；相遇N次，$S_和=N圈$
且公式为$S_和=v_和\times T_遇$
（2）如果不是同一个点出发呢？
第一次相遇就是正常套公式计算；后续相遇就是同点出发套公式
$\bigstar$情况4：环形追及
（1）同时同点同向出发，A的速度大于B的速度
每追上1次，多走1圈；追上N次，$S_差=N圈$
公式：$S_差=v_差\times T_追$
（2）那如果不是同一点出发的呢？
第一次追及就是正常套公式计算；后续追及就是同点出发套结论
$\bigstar$补充方法：比例法
用题来讲解比例法：
【拓展3】甲乙两人在一条400米的环形跑道上同点同时出发，同向匀速跑步。当甲第三次追上乙的时候，乙跑了2000米。问甲的速度是乙的多少倍?
A. 1.2 B. 1.5 C. 1.6 D. 2.0
解：第三次追上，则$S_差=3\times400=1200$，乙跑了2000米，则甲跑了$S_乙+S_差=2000+1200=3200米$。因为时间T相同，则$\frac{S_甲}{S_乙}=\frac{v_甲}{v_乙}$，即$\frac{v_甲}{v_乙}=\frac{3200}{2000}=1.6$，选C。
2、给一个容易多想的坑题：（关于“情况1：直线相遇”的题）
【拓展2】甲乙两人在相距1200米的直线道路上相向而行，一条狗与甲同时出发跑向乙，遇到乙后立即调头跑向甲，遇到甲后再跑向乙，如此反复，已知甲的速度为40米/分钟，乙为60米/分钟，狗为80米/分钟。不考虑狗调头所耗时间，当甲乙相距100米时狗跑了多少米?
A. 1100 B. 1000 C. 960 D. 880
这个题选什么？
选D。甲乙相距100米的时候，经过了(1200-100)/(40+60)=11分钟，则狗跑了11*80=880米，选D。一开始肯定容易多想，想算狗遇到乙、甲几次，各跑了多少米，但是这没必要想。因为题目暗示我们狗是不停地跑的，因此甲乙运行11分钟，狗也运行11分钟（这是不被影响的！！！），因为匀速就可以根据公式路程=速度*时间写出来狗跑了多少米。
3、对于例4(P204)：
（1）例4(P204)一定要写！！！是热门的模板题！！！两个人走到一个地点，然后一个人忘了什么东西回去了，另一个人还在走，那个回去的人回去后为了追另一个人，速度变快
（2）以及，对于例4(P204)，我忽略了，小王回甲地那段时间，小李还在走！！！一定要记住！！！
因此写成$\frac{1}{4}v+(\frac{1}{4}+x)v=15$，而不是$\frac{1}{4}v+xv=15$
（3）例4的方法2：（老师的方法，你也要会！！！）
小王回去甲地后，从甲地出发，它的速度才变成1.2v（设原来速度为v），这时候才有速度差，此时小王和小李的距离差为$\frac{1}{4}v+\frac{1}{4}v=\frac{1}{2}v$（因为小王回去的时候，小李也还在走），设相遇时间为T，则根据公式$S_差=v_差\times T$，则$\frac{1}{2}v=(1.2v-v)T$，则T=2.5h，小李总共走了$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+2.5=3$小时，则小李速度为$\frac{15}{3}=5km/h$
4、对“情况4：环形追及的不是同点出发”补充一个习题：
【拓展4】甲乙两人在一条400米的环形跑道上从相距200米的位置同时出发，同向匀速跑步。当甲第三次追上乙的时候，乙跑了2000米。问甲的速度是乙的多少倍?
A. 1.2 B. 1.5 C. 1.6 D. 2.0
这个题选什么？
选B。第一次相遇，S差=200米，第二次第三次相遇，S差=400*2=800米，则S差和=200+800=1000。S甲=S乙+S差=3000米，则v甲/v乙=S甲/S乙=3000/2000=1.5，则选B。9 几何问题
1、考场思维：
（1）几何配图，则结合图选出选项。如例1(P205)，从图中可以大致看出，花坛的边长大约是路宽的三倍，则边长为3，选B
2、需要记忆的公式：
圆柱体体积公式：$\pi r^2h$
圆锥体体积公式：$\frac{1}{3}\pi r^2h$
梯形面积公式：$\frac{(上底+下底)\times h}{2}$
密度公式：$\frac{m}{V}$，即$\frac{质量}{体积}$
3、常见题型考察：
（1）题型1：将一个物体放入水中淹没是最常见对体积的考查。该物体的体积等于水面上升部分的体积
【拓展4】一个长方体实心零件，长、宽、高分别为12厘米、8厘米和4厘米。如将其最大面朝下放在另一个长方体水槽中，零件将被完全淹没且水面上升3厘米。问零件最大面的面积比水槽底面积小多少平方厘米？
A. 32 B. 64 C. 96 D. 128
解：长方体体积为$12\times8\times4=384$，水面上升体积=长方体体积，则水槽底面积=$\frac{水面上升体积}{3}=\frac{384}{3}=128$，则零件最大面的面积比水槽底面积小$128-12\times8=32$，选A
9.1 三角形相关
1、三角形相关
$\bigstar$考点1：勾股定理相关
（1）公式：$a^2+b^2=c^2$
（2）常考勾股数：(3,4,5)、(6,8,10)、(5,12,13)
（3）特殊角直角三角形三边关系：
（4）勾股定理的题的补充方法：
① 对比选项求出（感觉常用！！！），不用计算根号。看例3(P206)，设B、C两点之间的距离为S，画图最后可知$(\frac{4}{3}S)^2=30^2+S^2$，则$30^2=\frac{7}{9}S^2$，要计算$S=\sqrt{900\times\frac{9}{7}}$，这也太难算了。但是老师教了一种不用计算根号的方法！因为B、C距离平方为$S^2$，且$S^2>\frac{7}{9}S^2$，则由于得出$30^2=\frac{7}{9}S^2$，可以得出$S^2>30^2$，由$S>0$则$S>30$，直接选D，不用算出根号就可以直接锁定选项！
② 勾股定理不好计算数字，可以用选项代入法！根据常见勾股数，来选择选项代入！！！
（5）补充知识：
① 在圆中，有一个三角形，有一条边是圆的直径，则直径所对的三角形的角度为90度，即
② $\sqrt{3}=1.732$；$\sqrt{2}=1.414$
$\bigstar$考点2：最短路径
（1）考察方式：求AB两点到直线距离之和最短
（2）解题原理：两点之间，直线最短
（3）解题技巧：镜面对称后连线
这里是对A镜面对称，换成对B镜面对称也可以！！！
特殊情况：若A点和B点在同一直线上，则A’点与B的连线经过直线的点C是“中心点”，对应点D是在直线AB的中间，即
$\bigstar$考点3：面积相关
（1）知识点：
① 面积比转化为高/底之比：
② 通过相似三角形得出面积相关结论：
你看大三角形边长和小三角形对应边长的比都是2:1，因此相似比是2:1，面积比是4:1
还能利用全等三角形，如例8(P207)
2、扩展题目：对应“考点3：面积相关”的“知识点②”
【拓展6】演播厅的地面形状是边长为100米的正三角形，现要用边长为2米的正三角形砖铺满(如图所示)。问需要用多少块砖?
A. 2763 B. 2500 C. 2340 D. 2300
这个题选什么？
选B。相似比是100:2=50:1，则面积比是相似比的平方，为2500:1，则选B。3、例8(P207)的计算方法写在书上了，反正是要计算，有不计算的方法吗？
介绍写这一题的考场思维：
（1）$S_{ABE}=24$，因为AB=AD，对应高三角形ADE比三角形AEB大，则$S_{ADE}>S_{ABE}=24$，且高是略大，则面积也是略大，选32（因为32比24略大）
（2）将AC和BD连线，如下图：
发现$S_{ADE}>\frac{100}{4}=25$，且比25略大，则选32
（3）有一个方法更好：
过E点做AD的垂线，则：
可知$H<AE=8$，则$S_{ADE}=\frac{H\times10}{2}<\frac{8\times10}{2}=40$，同时，$S_{ADE}\gt S_{ABE}=24$（由（1）知道），则只能选32
10 排列组合问题
10.1 基础概念
1、关于排列组合
$\bigstar$基础概念：
（1）分类与分步
分类（相加）：要么….要么.…(多者选其一)
分步（相乘）：既…又.(都要满足)
判断题目是分类还是分步，就是将“要么….要么.…”或“既…又”代入题目，看是哪个，就能判断是相加还是相乘：
① 如例1(P209)，因为荤素是“既…又”的关系，因此是相乘
（2）排列与组合
排列(A)：与顺序有关（选完人后需要排序）
组合(C)：与顺序无关（只需要选人，不需要排序）
8人中选出3人排成一队照相，共有$A_8^3$种站队方式
8人中选3人打扫卫生，共有$C_8^3$种选取方式
$\bigstar$公式：
$A_n^m=n\times(n-1)\times(n-1)\times…\times(n-m+1)$，$m$个数相乘
$C_n^m=\frac{A_n^m}{A_m^m}=\frac{n\times(n-1)\times(n-2)\times…\times(n-m+1)}{m\times(m-1)\times(m-2)\times…\times1}$
$A_n^1=C^1_n=n$（从n个随便选一个就是n种情况）
$C_n^m=C_n^{n-m}$（10个里面挑8个等价于10个挑2个；什么意思呢？就是例如100个里面选98个太麻烦了，不如100个里面选2个不要的，因此100个里面选98个相当于100个里面选2个）
2、对于例2(P210)，我有话要说。
方法1：我是在正面的角度考虑，进行分类讨论
方法2：老师说还能从反面的角度考虑，反面就是只有男/只有女。只有男，就是$C_6^3=20$，只有女，就是$C_3^3=1$，总方案数是$C_9^3=84$，则此题为84-20-1=63
方法3：男女各选一个，剩下1个人在剩下7人里面随便选一个。这样可以吗？
不行！！！因为有可能男女各选一个的时候，选的是男1、女1，然后剩下7人里随便选一个，选的是男2；还有可能男女各选一个的时候，选的是男2、女1，然后剩下7人里随便选一个，选的是男1。这样就出现了重复的选择。因此这种方法不行！！！（$\bigstar$感觉得把这种方法记住，然后写其他题的时候注意不要犯这个错误）
10.2 经典题型
1、方法1：凑数字，即枚举法
$\bigstar$题目特征：凑钱数；情况数很少（10以内，选项的数字都是10以内）
$\bigstar$【引例】妈妈给了小明8块钱让其去买早餐并且把钱用完。早餐摊只有两种食品，包子3块钱一个，馒头2块钱一个，问小明有( )种不同的买法?
解：3+3+2、2+2+2+2。即2种买法
$\bigstar$思路：从数字最大的开始枚举
2、方法2：相邻问题，即用捆绑法
$\bigstar$题目特征：必须相邻(在一起)
$\bigstar$【引例】A、B、C、D、E五个人站成一排照相，其中A、B是一对情侣，要求照相时必须相邻，一共有多少种排法?
解：先捆，考虑小情侣内部顺序，即$A_2^2=2$，把捆绑后的看成一个主体，即看成4人排列，即$A_4^4=24$，则为$A_2^2\times A^4_4=48$种
$\bigstar$思路：
先捆：把要相邻的主体捆绑起来，考虑内部顺序；
再排：将捆绑后的看成一个主体，和剩下的主体一起排列。
3、方法3：不相邻问题，即用插空法
$\bigstar$特征：不能相邻(不在一起)
$\bigstar$【引例】A、B、C、D、E、F、G七个人站成一排照相，其中A、B、C闹矛盾要求照相时都不能相邻，一共有多少种排法?
解：D、E、F、G随便排列，即$A_4^4=24$，将A、B、C对D、E、F、G进行插空，D、E、F、G有5个空，即$A_5^3$，则最后有$A_4^4\times A_5^3=1440$
$\bigstar$思路:
先排：先安排可以相邻的主体，形成若干个空位；
再插：将不相邻的主体插入到空位中。
4、方法4：同素分堆问题，即用隔板法
$\bigstar$【引例】7个相同的苹果分给三个小朋友，每人至少分一个，有多少种分法?
解：7个苹果，往七个苹果中间（6个空位）放入2个板子，就可以将苹果分成3堆。则是$C_6^2=\frac{6\times5}{2\times1}=30$
$\bigstar$题目特征：n个相同的东西分给m个人，每人至少一个
$\bigstar$方法：$C_{n-1}^{m-1}$
5、对隔板法进行补充：
（1）【拓展4 变形】有25颗苹果，打算全部分发给A、B、C三人若每人至少拿到6颗苹果，则有多少种分发方式?
A. 15 B. 20 C. 35 D. 36
$\bigstar$方法：需要n个，先给n-1个就变成还需要至少一个，然后再套公式
给三个人每人各5颗苹果，则$25-3\times5=10$，则最后为$C_9^2=\frac{9\times8}{2\times1}=36$
（2）【拓展5 变形】物业派出小王、小曾、小郭三名工作人员负责修剪小区内的6棵树，每名工作人员至少修剪1棵，若希望小王至少修剪3棵，则修剪棵数的分发方式有几种？
解：
方法1：正面求解。小王至少修剪3棵，则小王修剪3棵、4棵。小王修剪3棵时，还剩3棵，中间放1个隔板，则为$C_2^1=2$；小王修剪4棵时，还剩2棵，中间放1个隔板，即$C_1^1=1$。则方式共1+2=3种
方法2：反面求解。小王至少修剪3棵的反面是小王只修剪1棵或只修剪2棵。小王修剪1棵，还剩5棵树，中间放一个隔板，即$C_4^1=4$；小王修剪2棵，还剩4棵，中间放1个隔板，即$C_3^1=3$。则方式共10-(4+3)=3种
11 概率问题
1、情况1：给情况（个数）求概率
$\bigstar$公式：$概率=\frac{满足要求的情况数}{所有情况数}$
$\bigstar$【引例】全班100人，男生40人。随机挑选2人全部都是男生的概率？
解：$\frac{C_{40}^2}{C_{100}^2}=\frac{40\times39}{100\times99}$
2、情况2：给概率求概率
$\bigstar$方法：
（1）分类用加法：$P=P_1+P_2+…+P_n$
（2）分步用乘法：$P=P_1\times P_2\times … \times P_n$
$\bigstar$举例：
【引例1】老邓随机购买一张彩票，中一等奖概率为10%，中二等奖概率为20%，中三等奖概率为30%，问这张彩票中奖的概率是多少?
解：要么中一等奖、要么中二等奖、要么中三等奖，即分类相加，即10%+20%+30%=60%
【引例2】买完彩票后老邓又去刮刮乐，刮中100万的概率为50%，问老邓今天既彩票中奖又刮刮乐中奖的概率为多少?
解：既彩票中奖又刮刮乐中奖，即分步相乘，即60%$\times$50%=30%
3、对于例2(P211)，我有话要说。这种“至少”的题，用反面来写最好！这一题的反面就是叶雕和皮影展厅一个都没被选中，这个很好求！
或者选项里有加和为1的情况，用反面来做可能更好做！例2就是选项A和C加和为1
4、补充题目：
【拓展5】中秋节前夕，小赵买了6个外观相同的月饼，其中有3个是蛋黄馅的。回到家后，小赵从中任取3个月饼，里面恰好有1个是蛋黄馅的概率是:
A.9/20
B.1/2
C.3/5
D.11/20
这个题选什么？
选A。即从3个蛋黄馅月饼里挑1个，从剩下不是蛋黄馅的月饼里挑2个，即C_3^1*C_3^2=9种，总情况数为C_6^3=20，则是9/20，选A。5、对于例4(P212)，我犯了一个致命的错误！我知道要么第一、二批中奖，要么第一、三批中奖，要么第二、三批中奖，然后我就写成了$0.6\times0.2+0.2\times0.2+0.6\times0.2=0.28$，然后不知道选哪个
以上是错的，因为张先生三次都参与了，因此在第一、二批中奖的时候，还要算上第三批未中奖的概率，即要写为$0.6\times0.2\times0.8+0.2\times0.2\times0.4+0.6\times0.2\times0.8=0.208$，选A
12 容斥原理问题
1、关于容斥原理问题：
$\bigstar$容斥原理本质：多个集合有交叉，去重补漏
$\bigstar$考查类型：
（1）两集合容斥原理
① 两集合容斥原理的方程：$A+B-A\cap B=$总数-都不，等号左右两边两式相等，构成一个方程，能求东西
（2）三集合容斥原理
对于以上这个方程，从图中可以解释，即A+B+C-①-②-③-2$\times$④=总数-都不
③标准型和非标准型有什么区别？
图中的①即只有二者，A$\cap$B即二者及以上
如例3，订阅A、B期刊的有57人，其中包含了只订阅A、B期刊的，和订阅了A、B、C期刊的人数，因此是A$\cap$B=57
如例4，申请了其中两类专利的有39家，只包含了申请其中两类专利的，即是①+②+③=39
④列出方程后，挺难计算的，怎么办？用尾数法
$\bigstar$解题方法：
（1）列方程法
列出二集合容斥原理和三集合容斥原理的方程，使用尾数法计算
（2）画图法
用不了方程，就用画图法，如例5(P213)
$\bigstar$补充关系：
（1）$A\cap B\leq[A,B]_{min}$，如例1(P212)，可知$A\cap B\leq[A,B]_{min}=[40,46]_{min}=40$
2、对于例2(P213)，我有话要说
给数值范围和比例关系，没给具体值，但问具体值，一般都是考倍数特性法，通过倍数关系确定具体值
这题也是一样，物理、化学均不及格的人数占全班的14%，$14\%=\frac{7}{50}$，因此全班人数是50的倍数，又因为全班人数不超过70人，因为$\frac{物化不及格的人数}{全班人数}=\frac{7}{50}$，因此全班人数只能是50人。则物化不及格的人数为7人。化学及格人数为50$\times$60%=30，物理及格人数为30+10=40，则式子为30+40-$A\cap B$=50-7，则$A\cap B=$27
3、对于例3(P213)，我有话要说
这个题的方程是$125+126+135-57-73-x+31=240-17$，这个方程要计算出x很复杂。看选项每个数字的尾数都不一样，因此此题计算x可以用尾数法，而不是直接计算，比直接计算快多了！！！
4、【拓展】某班参加学科竞赛人数40人，其中参加数学竞赛的有22人，参加物理竞赛的有27人，参加化学竟赛的有25人，只参加两科竞赛的有24人，参加三科竟赛的有多少人?
A. 2 B. 3 C. 5 D. 7